Chinesischer Restsatz (Z)/3 11 13/Aufgabe/Lösung

a) ${\displaystyle {}(1,0,0)}$: Wir betrachten die Vielfachen von ${\displaystyle {}11\cdot 13=143}$, diese haben modulo ${\displaystyle {}11}$ und modulo ${\displaystyle {}13}$ den Rest ${\displaystyle {}0}$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. ${\displaystyle {}143}$ hat modulo ${\displaystyle {}3}$ den Rest ${\displaystyle {}2}$, somit hat ${\displaystyle {}286}$ modulo ${\displaystyle {}3}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$. Also repräsentiert ${\displaystyle {}286}$ das Restetupel ${\displaystyle {}(1,0,0)}$.

${\displaystyle {}(0,1,0)}$: Hier betrachtet man die Vielfachen von ${\displaystyle {}39}$, und ${\displaystyle {}39}$ hat modulo ${\displaystyle {}11}$ den Rest ${\displaystyle {}6}$ und ${\displaystyle {}2\cdot 39=78}$ hat modulo ${\displaystyle {}11}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$, also repräsentiert ${\displaystyle {}78}$ das Restetupel ${\displaystyle {}(0,1,0)}$.

${\displaystyle {}(0,0,1)}$: Hier betrachtet man die Vielfachen von ${\displaystyle {}33}$, und ${\displaystyle {}33}$ hat modulo ${\displaystyle {}13}$ den Rest ${\displaystyle {}7}$ und ${\displaystyle {}2\cdot 33=66}$ hat modulo ${\displaystyle {}13}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$, also repräsentiert ${\displaystyle {}66}$ das Restetupel ${\displaystyle {}(0,0,1)}$.

b) Man schreibt (in ${\displaystyle \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(11)\times \mathbb {Z} /(13)}$)

${\displaystyle {}(2,5,6)=2(1,0,0)+5(0,1,0)+6(0,0,1)\,.}$

Die Lösung ist dann

${\displaystyle {}{\begin{aligned}2\cdot 286+5\cdot 78+6\cdot 66&=572+390+396\\&=1358.\end{aligned}}}$

Die minimale Lösung ist dann

${\displaystyle {}1358-3\cdot 429=71}$