Dedekindbereich/Erweiterung/Separabel/Verzweigung/Endlich/Fakt/Beweis

Es sei

${\displaystyle {}L=K[x]=K[X]/(F)\,}$

mit einem normierten Polynom ${\displaystyle {}F}$, was es nach dem Satz vom primitiven Element gibt. Wir betrachten die endlichen Abbildungen

${\displaystyle {}R\subseteq R[x]\cong R[X]/(F)\subseteq S\,}$

wobei ${\displaystyle {}S}$ die Normalisierung von ${\displaystyle {}R[x]}$ ist. Es sei

${\displaystyle {}S=R[x][{\frac {g_{1}}{f_{1}}},\ldots ,{\frac {g_{n}}{f_{n}}}]\,}$

mit ${\displaystyle {}g_{i},f_{i}\in R[x]}$ und wobei wir ${\displaystyle {}f_{i}\in R}$ annehmen dürfen. Sei

${\displaystyle {}f=\prod f_{i}\neq 0\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}R_{f}[x]=R[x]_{f}=S_{f}\,.}$

Das heißt, dass oberhalb von ${\displaystyle {}R_{f}}$ der Ganzheitsring durch ein Element erzeugt wird. Da es oberhalb von ${\displaystyle {}(f)}$ nur endlich viele Primideale in ${\displaystyle {}R}$ gibt, genügt es zu zeigen, dass in ${\displaystyle {}D(f)}$ nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also

${\displaystyle {}S=R[x]\,}$

als monogen annehmen. Wir betrachten das von ${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$ erzeugte Ideal in ${\displaystyle {}R[X]}$. Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in ${\displaystyle {}K[X]}$ das Einheitsideal, was in ${\displaystyle {}R[X]}$ bedeutet, dass es Polynome ${\displaystyle {}P,Q}$ gibt mit

${\displaystyle {}FP+F'Q=g\in R\,}$

mit ${\displaystyle {}g\neq 0}$. Dies heißt wiederum, dass in ${\displaystyle {}R_{g}[X]}$ die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach Fakt auf ${\displaystyle {}D(g)}$ keine Verzweigung statt. Oberhalb von ${\displaystyle {}g}$ gibt es aber auch wieder nur endlich viele Primideale und die Primideale aus ${\displaystyle {}D(g)}$ verzweigen nicht.