Derivation/Lie-Klammer/Multiplikation/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}R}$-Algebra über einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Zu ${\displaystyle {}f\in A}$ bezeichne

${\displaystyle \mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,x\longmapsto fx,}$

die ${\displaystyle {}R}$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei ${\displaystyle {}R}$-linearen Abbildungen

${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\colon A\longrightarrow A}$

bezeichne

${\displaystyle {}[\varphi _{1},\varphi _{2}]=\varphi _{1}\circ \varphi _{2}-\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}\delta \colon A\rightarrow A}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Derivation. Zeige, dass zu jedem ${\displaystyle {}g\in A}$ die Abbildung ${\displaystyle {}[\delta ,\mu _{g}]}$ eine Multiplikationsabbildung ist.