Dezimalentwicklung/Funktionenfolge/Aufgabe

Wir betrachten für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ die Funktionenfolge ${\displaystyle {}f_{n}}$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{\geq 0}}$ mit

${\displaystyle {}f_{n}(x):={\frac {\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor }{10^{n}}}\,.}$

1. Berechne die Funktionswerte ${\displaystyle {}f_{n}(x)}$ für

   ${\displaystyle {}x=11,793105\,}$

   und für ${\displaystyle {}n=0,1,2}$.

2. Skizziere die Funktionen ${\displaystyle {}f_{1}}$ und ${\displaystyle {}f_{2}}$ auf dem Intervall ${\displaystyle {}[0,1]}$.
3. Begründe, dass die ${\displaystyle {}f_{n}}$ nicht stetig sind.
4. Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
5. Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.