Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}Y}$

${\displaystyle {}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {}F\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {}F(P)\in N_{P}Y\,}$

für alle ${\displaystyle {}P\in Y}$.

${\displaystyle {}X}$

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}}$

eine endliche Teilmenge ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ derart gibt, dass

${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,}$

ist.

${\displaystyle {}Q\in L}$

${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle T_{Q}(\varphi )\colon T_{Q}L\longrightarrow T_{\varphi (Q)}M}$

im Punkt ${\displaystyle {}Q}$ maximalen Rang besitzt.

${\displaystyle {}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)}$

${\displaystyle {}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)}$

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle {}N}$

${\displaystyle {}M\times N}$

${\displaystyle \alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'}$

(mit ${\displaystyle (i,j)\in I\times J}$ und ${\displaystyle U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$.