Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow Y}$

heißt geodätische Kurve auf ${\displaystyle {}Y}$, wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich ${\displaystyle {}0}$ ist.

${\displaystyle {}T}$

${\displaystyle {\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.}$

${\displaystyle T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN}$

versteht man die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also

${\displaystyle {}T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.}$

${\displaystyle \alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}}$

und

${\displaystyle \alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}}$

orientierte Karten von ${\displaystyle {}M}$. Der zugehörige Kartenwechsel

${\displaystyle \psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})}$

heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${\displaystyle {}Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})}$ das totale Differential

${\displaystyle \left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

orientierungstreu ist.

${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$

${\displaystyle {}P\in L}$

${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L}$

${\displaystyle {}(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,}$

definiert.

${\displaystyle {}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.}$

für beliebige Vektorfelder ${\displaystyle {}V,W,Z}$ gilt.