Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle I\longrightarrow TY,\,t\longmapsto \pi _{P}(\gamma ^{\prime \prime }(t)),}$

wobei ${\displaystyle {}\pi _{P}}$ die orthogonale Projektion

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y}$

bezeichnet, die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) von ${\displaystyle {}\gamma }$.

${\displaystyle {}P}$

${\displaystyle T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ].}$

${\displaystyle {}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)}$

${\displaystyle {}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)}$

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle {}N}$

${\displaystyle {}M\times N}$

${\displaystyle \alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'}$

(mit ${\displaystyle (i,j)\in I\times J}$ und ${\displaystyle U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$.

${\displaystyle {}T\subseteq M}$

${\displaystyle {}T}$

${\displaystyle {}\omega }$

${\displaystyle {}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}}$

${\displaystyle {}T_{i}\subseteq U_{i}}$

${\displaystyle {}\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}}$

${\displaystyle {}\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,}$

definiert.

${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow M}$

eine geodätische Kurve, wenn

${\displaystyle {}\nabla _{d/dt}\gamma '=0\,}$

auf ${\displaystyle {}I}$ ist.