Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},}$

heißt bogenparametrisiert, wenn ${\displaystyle {}\gamma _{1}'(t)^{2}+\cdots +\gamma _{n}'(t)^{2}=1}$ für alle ${\displaystyle {}t}$ gilt.

${\displaystyle {}\gamma _{1}}$

${\displaystyle {}\gamma _{2}}$

${\displaystyle {}P}$

${\displaystyle {}P\in U}$

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V}$

mit ${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ derart gibt, dass

${\displaystyle {}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,}$

${\displaystyle {}p}$

${\displaystyle {}s\colon X\rightarrow Y}$

${\displaystyle {}p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.}$

${\displaystyle {}P\in M}$

${\displaystyle {}\omega _{P}}$

${\displaystyle {}T_{P}M}$

${\displaystyle \bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M}$

${\displaystyle {}1}$

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},}$

die kanonische Volumenform auf ${\displaystyle {}M}$.

${\displaystyle {}\omega }$

${\displaystyle {}U}$

${\displaystyle \omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}}$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

${\displaystyle f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .}$

Dann ist die äußere Ableitung die ${\displaystyle {}(k+1)}$-Form

${\displaystyle {}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.}$

${\displaystyle {}K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}R}$ den Krümmungsoperator auf dem Tangentialbündel bezeichnet, die Schnittkrümmung zu ${\displaystyle {}v,w}$ in ${\displaystyle {}P}$.