Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}Y}$

${\displaystyle Y\longrightarrow S^{n-1},}$

die jeden Punkt ${\displaystyle {}P\in Y}$ auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu ${\displaystyle {}Y}$.

${\displaystyle \varphi \colon U\longrightarrow V,}$

wobei ${\displaystyle {}U\subseteq M}$ und ${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ offen sind.

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle {}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}}$

mit ${\displaystyle {}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen

${\displaystyle \alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

${\displaystyle {}C^{1}}$-Diffeomorphismen für alle ${\displaystyle {}i,j\in I}$ sind, heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit.

${\displaystyle {}\varphi \colon L\rightarrow M}$

${\displaystyle {}P\in L}$

${\displaystyle T_{P}\varphi \colon T_{P}L\longrightarrow T_{\varphi (P)}M}$

eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.

${\displaystyle {}e\in E}$

${\displaystyle {}p(e)\in U\subseteq X}$

${\displaystyle s\colon U\longrightarrow E{|}_{U}}$

durch ${\displaystyle {}e}$ gibt.