Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)}$

${\displaystyle {}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)}$

${\displaystyle {}M}$

${\displaystyle {}N}$

${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow M}$

heißt differenzierbar, wenn sie stetig ist und wenn für alle ${\displaystyle {}i\in I}$ und alle ${\displaystyle {}j\in J}$ die Abbildungen

${\displaystyle \beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'}$

stetig differenzierbar sind.

${\displaystyle {}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,}$

versehen mit der Projektionsabbildung

${\displaystyle \pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,}$

das Tangentialbündel von ${\displaystyle {}M}$.

${\displaystyle {}Y}$

${\displaystyle {}N}$

${\displaystyle {}N}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.}$

Die zweite Fundamentalmatrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$ ist die (von ${\displaystyle {}Q\in V}$) abhängige Matrix

${\displaystyle {}H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.}$

${\displaystyle {}\omega }$

${\displaystyle {}\omega }$

${\displaystyle {}\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k,\,I\subseteq \{1,\ldots ,\operatorname {dim} \,M\}}f_{I}dx_{I}\,}$

besitzt, durch

${\displaystyle {}d\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k}d(f_{I})\wedge dx_{I}\,}$

definiert.

${\displaystyle h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R} }$

mit ${\displaystyle {}j\in J}$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${\displaystyle {}h_{j}(X)\subseteq [0,1]}$ für alle ${\displaystyle {}j\in J}$.
2. Jeder Punkt ${\displaystyle {}P\in X}$ besitzt eine offene Umgebung ${\displaystyle {}P\in U}$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen ${\displaystyle {}h_{j}{|}_{U}}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
3. Es ist ${\displaystyle {}\sum _{j\in J}h_{j}=1}$.
4. Für jedes ${\displaystyle {}j\in J}$ gibt es eine offene Menge ${\displaystyle {}W_{i(j)}}$ aus der Überdeckung derart, dass der Träger von ${\displaystyle {}h_{j}}$ in ${\displaystyle {}W_{i(j)}}$ liegt.