Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Potenzreihenansatz/1/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz

${\displaystyle {}y(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+\ldots \,.}$

Aufgrund der Anfangsbedingung ist direkt ${\displaystyle {}a_{0}=2}$ und ${\displaystyle {}a_{1}=5}$. Die relevanten Ausdrücke links sind

${\displaystyle {}y^{\prime \prime }=2a_{2}+6a_{3}t+12a_{4}t^{2}+\ldots \,,}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}e^{t}y^{\prime }&={\left(1+t+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{6}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4}+\ldots \right)}{\left(5+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+4a_{4}t^{3}+\ldots \right)}\\&=5+(5+2a_{2})t+({\frac {5}{2}}+2a_{2}+3a_{3})t^{2}+\ldots ,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}t{\left(a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+\ldots \right)}=2t+5t^{2}+a_{2}t^{3}+a_{3}t^{4}+\ldots \,,}$

und deren Summe ist mit ${\displaystyle {}3+t^{2}}$ gleichzusetzen. Der Vergleich der einzelnen Koeffizienten zu den ${\displaystyle {}t^{i}}$ führt auf

${\displaystyle {}2a_{2}+5=3\,,}$

also ist

${\displaystyle {}a_{2}=-1\,,}$

auf

${\displaystyle {}6a_{3}+5+2a_{2}+2=0\,,}$

also ist

${\displaystyle {}a_{3}=-{\frac {5}{6}}\,,}$

und auf

${\displaystyle {}12a_{4}+{\frac {5}{2}}+2a_{2}+3a_{3}+5=1\,,}$

also ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}12a_{4}&=-{\frac {5}{2}}-2a_{2}-3a_{3}-4\\&=-{\frac {5}{2}}+2+3{\frac {5}{6}}-4\\&=-2,\end{aligned}}}$

also

${\displaystyle {}a_{4}=-{\frac {1}{6}}\,.}$

Die Potenzreihe zu ${\displaystyle {}y}$ bis zur vierten Ordnung ist also

${\displaystyle 2+5t-t^{2}-{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4}.}$