Differenzierbare Fläche/Ellipsoidoberfläche/Weingartenabbildung/Diagonalmatrix/Aufgabe/Lösung

Das normierte Gradientenfeld ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}N(x,y,z)&={\frac {1}{\sqrt {4x^{2}+4y^{2}+16z^{2}}}}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\4z\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+4z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\2z\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Wir arbeiten mit dem Einheitsnormalenfeld

${\displaystyle {}M(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\2z\end{pmatrix}}\,,}$

was auf ${\displaystyle {}Y}$ mit ${\displaystyle {}N}$ übereinstimmt. Das totale Differential von ${\displaystyle {}M}$ ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}&0&{\frac {-2xz}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}&{\frac {-2yz}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\\0&0&{\frac {8}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\end{pmatrix}}.}$

Im angegebenen Punkt ${\displaystyle {}P}$ ist der Gradient ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}}$ und die beiden Vektoren ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}}$ ist eine Basis des Tangetialraumes ${\displaystyle {}T_{P}Y}$. Das totale Differential zu ${\displaystyle {}M}$ ist in diesem Punkt gleich

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}&0&{\frac {-1}{3{\sqrt {6}}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {-1}{3{\sqrt {6}}}}\\0&0&{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}.}$

Angewendet auf den ersten Basisvektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}$ ergibt sich ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\0\end{pmatrix}}}$, dies ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {6}}}}$. Angewendet auf den zweiten Basisvektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}}$ ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {7}{3{\sqrt {6}}}}\\{\frac {1}{3{\sqrt {6}}}}\\-{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{3{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}\,.}$

Daher ist der andere Eigenwert gleich ${\displaystyle {}{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}}$ und eine beschreibende Diagonalmatrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}&0\\0&{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}.}$