Differenzierbare Funktion/Äquivalenzrelation durch Ableitungsbedingung/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle H\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,f\longmapsto (f(0),f'(0),f^{\prime \prime }(1)).}$

Zwei Funktionen ${\displaystyle {}f}$ und ${\displaystyle {}g}$ stehen genau dann in dieser Relation zueinander, wenn ihre Bilder unter ${\displaystyle {}H}$ übereinstimmen. Daher liegt eine Äquivalenzrelation vor (und ${\displaystyle {}H}$ beschreibt die Äquivalenzklassenbildung).

b) Das Polynom

${\displaystyle a+bx+{\frac {c}{2}}x^{2}}$

wird unter ${\displaystyle {}H}$ auf ${\displaystyle {}(a,b,c)}$ abgebildet, sodass dieses Polynom diese Klasse repräsentiert.

c) Es sei ${\displaystyle {}f_{1}\sim g_{1}}$ und ${\displaystyle {}f_{2}\sim g_{2}}$. Es ist ${\displaystyle {}(f_{1}+f_{2})\sim (g_{1}+g_{2})}$ zu zeigen. Dies folgt aber sofort aufgrund der Additivität der Ableitung.

d) Wir betrachten ${\displaystyle {}f_{1}=g_{1}=x}$ und ${\displaystyle {}f_{2}=x}$ und ${\displaystyle {}g_{2}=x^{3}-3x^{2}+x}$. Offenbar ist ${\displaystyle {}f_{1}\sim g_{1}}$. Die relevanten Werte für ${\displaystyle {}f_{2}}$ sind wegen ${\displaystyle {}f_{2}=x,\,f_{2}'=1,\,f_{2}^{\prime \prime }=0}$ einfach

${\displaystyle H(f_{2})=(0,1,0).}$

Für ${\displaystyle {}g_{2}}$ ergibt sich ${\displaystyle {}g_{2}=x^{3}-3x^{2}+x,\,g_{2}'=3x^{2}-6x+1,\,g_{2}^{\prime \prime }=6x-6}$. Daher ist

${\displaystyle H(g_{2})=(0,1,0),}$

sodass ${\displaystyle {}f_{2}\sim g_{2}}$ ist. Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}f_{1}f_{2}}$ und ${\displaystyle {}g_{1}g_{2}}$ nicht äquivalent sind. Es ist ${\displaystyle {}f_{1}f_{2}=x^{2}}$ mit den Ableitungen ${\displaystyle {}(x^{2},2x,2)}$ und daher ist

${\displaystyle H(f_{1}f_{2})=(0,0,2).}$

Für ${\displaystyle {}g_{1}g_{2}=x(x^{3}-3x^{2}+x)=x^{4}-3x^{3}+x^{2}}$ hat man die Ableitungen ${\displaystyle {}(x^{4}-3x^{3}+x^{2},4x^{3}-9x^{2}+2x,12x^{2}-18x+2)}$ und daher ist

${\displaystyle H(g_{1}g_{2})=(0,0,-4)\neq H(f_{1}f_{2}).}$