Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}P\in M}$ ein Punkt und ${\displaystyle {}P\in U}$ eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte

${\displaystyle \alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$

wobei ${\displaystyle {}V=B(0,3)}$ die offene Kugel mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}0}$ und Radius ${\displaystyle {}3}$ sei und wobei ${\displaystyle {}\alpha (P)=0}$ gelte. Für ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n-1}$ betrachten wir

${\displaystyle B_{i}={\left\{x\in V\mid (x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1,\,x_{i+2}=0,\,x_{i+3}=0,\ldots ,x_{n}=0\right\}}.}$

Es ist also ${\displaystyle {}B_{n-1}}$ die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}(1,0,\ldots ,0)}$ und Radius ${\displaystyle {}1}$, ${\displaystyle {}B_{n-2}}$ ist darin der durch ${\displaystyle {}x_{n}=0}$ definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält ${\displaystyle {}B_{i}}$ aus ${\displaystyle {}B_{i+1}}$, indem man zusätzlich noch ${\displaystyle {}x_{i+2}=0}$ setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen

${\displaystyle B_{n-1}\supseteq B_{n-2}\supseteq \ldots \supseteq B_{1}\supseteq B_{0}}$

vor

(${\displaystyle {}B_{0}}$ besteht aus den beiden Punkten ${\displaystyle {}(\pm 1,0,\ldots ,0)}$). Wir fassen ${\displaystyle {}B_{i}}$ als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung

${\displaystyle \varphi _{i}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-i},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto ((x_{1}-1)^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1,x_{i+2},\ldots ,x_{n}),}$

auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2x_{1}-2&2x_{2}&\ldots &2x_{i+1}&2x_{i+2}&\ldots &2x_{n-1}&2x_{n}\\0&0&\ldots &0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&1\end{pmatrix}}.}$

Der Rang dieser Matrix ist nur bei ${\displaystyle {}x_{1}=1,\,x_{2}=\cdots =x_{i+1}=0}$ kleiner als ${\displaystyle {}n-i}$, ein solcher Punkt liegt also nicht auf ${\displaystyle {}B_{i}}$. Das bedeutet, dass die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi _{i}}$ in der Faser ${\displaystyle {}B_{i}}$ regulär ist, sodass ${\displaystyle {}B_{i}}$ aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle {}V}$ der Dimension ${\displaystyle {}i}$ ist.

Wir setzen nun ${\displaystyle {}M_{i}=\alpha ^{-1}(B_{i})}$ für ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n-1}$ und ${\displaystyle {}M_{n}=M}$. Da die ${\displaystyle {}B_{i}}$ kompakt sind, sind die ${\displaystyle {}M_{i}}$ auch abgeschlossene Teilmengen in ${\displaystyle {}M}$. Da die Bedingung für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit eine lokale Eigenschaft ist, handelt es sich um abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von ${\displaystyle {}M}$.