Diffusion/Verteilungen für Zellen

Sei ${\displaystyle I:=\{1,...,m\}\times \{1,...,n\}}$ eine Indexmenge für ${\displaystyle m\times n}$-Matrizen und ${\displaystyle T:=\mathbb {N} _{0}}$ eine Menge von Zeitpunkten. In dieser kurzen Einführung wird mathematisch die Verteilung einer Ausgangsmatrix ${\displaystyle S_{t}:=(s_{(i,j,t)})_{(i,j)\in I,t\in T})\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )}$ beschrieben. Um die Notation zu vereinfachen, wird die Menge der ${\displaystyle m\times n}$-Matrizen mit ${\displaystyle \mathbb {M} :=Mat(m\times n,\mathbb {R} )}$ bezeichnet. Dabei wird die Verteilung einer einzelnen Zelle mit dem Index ${\displaystyle (i_{o},j_{o})\in I:=\{1,...,m\}\times \{1,...,n\}}$ auf die ${\displaystyle n\cdot m}$ Zellen zum Zeitschritt ${\displaystyle t+1\in T}$ jeweils durch eine Abbildung ${\displaystyle f_{(i_{o},j_{o},t)}}$ beschrieben.

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{(i_{o},j_{o},t)}:&\mathbb {R} \to \mathbb {M} \\&x\mapsto f_{(i_{o},j_{o},t)}(x)\end{aligned}}}$

In das Argument von ${\displaystyle f_{(i_{o},j_{o},t)}}$ wird z.B. die Veränderung der Schadstoffkonzentration zum Zeitpunkt ${\displaystyle t+1}$ berechnet. Da sich die Verteilung durch sich bewegende Objekte in der Zeit ${\displaystyle t\in T}$ verändert, verändern sich auch die Abbildungen und die Funktionen und die Funktionen werden daher auch mit dem Zeitparameter ${\displaystyle t}$ indiziert. Die neue Matrix ${\displaystyle M_{t+1}:=(m_{(i,j,t+1)})_{i\in (i,j)\in I,t\in T}\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )}$ erhält man durch Summation der Abbildungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{t}:&\mathbb {M} \to \mathbb {M} \\&S_{t}\mapsto F(S_{t})=S_{t+1}:=\sum _{(i_{o},j_{o})\in I}f_{(i_{o},j_{o},t)}(s_{(i_{o},j_{o},t)})\end{aligned}}}$

• Definieren Sie für eine einzelne Zelle mit dem Index ${\displaystyle (i_{o},j_{o})\in I:=\{1,...,m\}\times \{1,...,n\}}$ die Abbildung ${\displaystyle f_{(i_{o},j_{o},t)}}$. In einem ersten Schritt betrachten Sie einen Raum in dem sich keine Objekte bewegen und sich die Abbildung über die Zeit nicht verändern, d.h. es gilt zunächst:

${\displaystyle f_{(i_{o},j_{o})}=f_{(i_{o},j_{o},t)}}$ für alle ${\displaystyle t\in T}$.

• Beschreiben Sie die Position von Objekten ebenfalls durch eine Matrix ${\displaystyle M_{t}\in Mat(m\times n,\{0,1\})\subset \mathbb {M} }$. Dabei kann die Matrix ${\displaystyle M_{t}}$ als Indikator verstanden, bei dem ${\displaystyle m_{(i_{o},j_{o},t)}=1}$ bedeutet, dass die Zelle mit dem Index ${\displaystyle (i_{o},j_{o})}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ durch ein Objekt belegt ist. ${\displaystyle m_{(i_{o},j_{o},t)}=0}$ bedeutet, dass in die Zeile mit dem Index ${\displaystyle (i_{o},j_{o})}$ Schadstoffe verteilt werden können.
• Erläutern Sie, welche Veränderungen Sie an der grundlegenden Datenstruktur vornehmen müssen, um Diffusion in einem dreidimensionalen Raum zu modellieren!
• Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es zwischen dem hier gewählten Ansatz und der Umsetzung von Diffusion durch Differentialgleichungen! Welche Vor- und Nachteile gibt es bei den Ansätzen?