Direkte Summe/Über Dimension/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum und seien ${\displaystyle {}U_{1},\ldots ,U_{n}}$ Untervektorräume von ${\displaystyle {}V}$, deren Summe ${\displaystyle {}V}$ ergibt. Zeige, dass diese Summe genau dann direkt ist, wenn die Dimensionsbeziehung

${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(V\right)}=\sum _{i=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}\,}$

gilt.