Direkte Summe/Nilpotente Abbildung/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}$ eine lineare Abbildung und es sei ${\displaystyle {}V=U\oplus W}$ die direkte Summe aus ${\displaystyle {}\varphi }$-invarianten Untervektorräumen. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann nilpotent ist, wenn ${\displaystyle {}\varphi {|}_{U}}$ und ${\displaystyle {}\varphi {|}_{W}}$ nilpotent sind.