Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}G}$

${\displaystyle {}e\in G}$

${\displaystyle G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,}$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${\displaystyle {}f,g,h\in G}$ gilt

   ${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).}$

2. Das Element ${\displaystyle {}e}$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${\displaystyle {}g\in G}$ gilt

   ${\displaystyle g\circ e=g=e\circ g.}$

3. Zu jedem ${\displaystyle {}g\in G}$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${\displaystyle {}h\in G}$ mit

   ${\displaystyle h\circ g=g\circ h=e.}$

${\displaystyle {}V\times V}$

${\displaystyle {}a_{u,v}={\begin{cases}1,\,{\text{falls }}\{u,v\}\in E,\\0\,{\text{ sonst}},\end{cases}}\,}$

gegeben sind.