Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$ , ${}0\leq r\leq d-1$ , mit
${}n=qd+r\,.$
Es sei ${}R$ ein kommutativer Halbring und seien ${}x_{1},\ldots ,x_{k}\in R$ Elemente und ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann ist
${}{\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}^{n}=\sum _{r_{1}+\cdots +r_{k}=n}{\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{k}^{r_{k}}\,.$
Es sei ${}G$ ein zusammenhängender planarer Graph mit ${}n$ Knotenpunkten, ${}m$ Kanten und ${}g$ Gebieten. Dann gilt die eulersche Polyederformel
${}n-m+g=2\,.$