Drei Punkte/Kreis/Konstruktion/Aufgabe/Lösung

Wir verbinden ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ und ${\displaystyle {}Q}$ und ${\displaystyle {}R}$ jeweils durch eine Gerade, sagen wir ${\displaystyle {}G_{1}}$ und ${\displaystyle {}G_{2}}$. Nach Fakt  (1) kann man zu den beiden Geraden jeweils eine senkrechte, die Strecke halbierende Gerade konstruieren, nennen wir sie ${\displaystyle {}H_{1}}$ und ${\displaystyle {}H_{2}}$. Diese beiden Geraden sind nicht parallel, sonst wären die drei Punkte kollinear. Also gibt es einen Schnittpunkt

${\displaystyle {}H_{1}\cap H_{2}=\{M\}\,.}$

Der Abstand von ${\displaystyle {}M}$ zu ${\displaystyle {}P}$ stimmt aus Symmetriegründen mit dem Abstand von ${\displaystyle {}M}$ zu ${\displaystyle {}Q}$ überein, und dieser Abstand stimmt ebenfalls mit dem Abstand von ${\displaystyle {}M}$ zu ${\displaystyle {}R}$ überein. Daher verläuft der Kreis mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle {}M}$ durch ${\displaystyle {}P}$ auch durch die andern beiden Punkte.