Dreieck/Schnitt mit Gerade/Baryzentisch/Aufgabe/Lösung

Die Eckpunkte des Dreiecks seien ${\displaystyle {}P,Q,R}$, und es sei vorausgesetzt, dass die Gerade die Dreieckseite zwischen ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ und die Deiecksseite zwischen ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}R}$ trifft. Es ist zu zeigen, dass die Gerade nicht auch die Dreiecksseite zwischen ${\displaystyle {}Q}$ und ${\displaystyle {}R}$ trifft. Die Schnittpunkte der Geraden mit den erwähnten Seiten seien

${\displaystyle aP+(1-a)Q\,\,{\text{ und }}\,\,bP+(1-b)R,}$

mit ${\displaystyle {}0<a,b<1}$ (diese Bedingungen bedeuten, dass die Gerade die beiden Seiten echt zwischen den Punkten trifft). Die Punkte der Verbindungsgeraden ${\displaystyle {}H}$ dieser beiden Schnittpunkte hat die baryzentische Beschreibung

${\displaystyle {\left\{s{\left(aP+(1-a)Q\right)}+(1-s){\left(bP+(1-b)R\right)}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}s{\left(aP+(1-a)Q\right)}+(1-s){\left(bP+(1-b)R\right)}&={\left(sa+(1-s)b\right)}P+s(1-a)Q+(1-s)(1-b)R\\&={\left(s(a-b)+b\right)}P+s(1-a)Q+(1-s)(1-b)R.\,\end{aligned}}}$

Damit dieser Punkt auf der durch ${\displaystyle {}Q}$ und ${\displaystyle {}R}$ gegebenen Geraden liegt, muss der Koeffizient vor ${\displaystyle {}P}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ sein. Das ergibt die Bedingung

${\displaystyle {}s(a-b)=-b\,.}$

Bei ${\displaystyle {}a=b}$ kann man dies nicht erreichen. Es sei also ${\displaystyle {}a\neq b}$ und folglich

${\displaystyle {}s={\frac {-b}{a-b}}\,.}$

Ohne Einschränkung sei ${\displaystyle {}a>b}$.

${\displaystyle {}Q}$

${\displaystyle {}{\frac {-b}{a-b}}(1-a)}$

${\displaystyle {}G}$