E^x-1/Negativ/Keine starke Kontraktion/Banach/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}f(0)=e^{0}-1=1-1=0\,,}$

daher ist ${\displaystyle {}0}$ ein Fixpunkt. Die Ableitung von ${\displaystyle {}f(x)-x}$ ist ${\displaystyle {}{\left(f(x)-x\right)}'=e^{x}-1<0}$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{-}}$, daher ist ${\displaystyle {}f(x)-x}$ im negativen Bereich streng fallend und somit besitzt dort ${\displaystyle {}f(x)-x}$ keine weitere Nullstelle, also ist dort

${\displaystyle {}f(x)\neq x\,.}$

${\displaystyle {}f'(x)=e^{x}\leq 1\,}$

für alle ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} _{\leq 0}}$. Daher ist nach dem Mittelwertstz

${\displaystyle {}{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\leq 1\,}$

für alle ${\displaystyle {}x,y\in \mathbb {R} _{\leq 0}}$. Somit ist

${\displaystyle {}\vert {f(y)-f(x)}\vert \leq \vert {y-x}\vert \,,}$

was die Lipschitz-Eigenschaft mit Lipschitzfaktor ${\displaystyle {}1}$ bedeutet.

${\displaystyle {}{\frac {f(y)-f(0)}{y-0}}={\frac {f(y)}{y}}={\frac {e^{y}-1}{y}}\,.}$

Für ${\displaystyle {}y\rightarrow 0}$ konvergiert dies gegen den Differentialquotienten an der Stelle ${\displaystyle {}0}$ von ${\displaystyle {}f}$, also gegen ${\displaystyle {}1}$. Würde eine starke Kontraktion vorliegen, so würde es ein ${\displaystyle {}c<1}$ geben, wofür insbesondere

${\displaystyle {}\vert {f(y)}\vert \leq c\vert {y}\vert \,}$

gelten würde. Dann wäre

${\displaystyle {}\vert {\frac {f(y)}{y}}\vert \leq c\,}$

im Widerspruch zur Konvergenzeigenschaft.