Ebene Drehung/Orientierte Orthonormalbasis/Matrix/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben ${\displaystyle {}u_{1}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}u_{2}={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}}$. Die Übergangsmatrix von ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}}$ nach ${\displaystyle {}{\mathfrak {e}}}$ ist

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,.}$

Da ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}}$ eine Orthonormalbasis ist, und die Determinante der Übergangsmatrix nach Voraussetzung ${\displaystyle {}1}$ ist, muss dies eine Drehmatrix sein, d.h. es gibt einen Winkel ${\displaystyle {}\gamma }$ mit

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\gamma &-\operatorname {sin} \,\gamma \\\operatorname {sin} \,\gamma &\operatorname {cos} \,\gamma \end{pmatrix}}\,.}$

Die Umkehrabbildung dazu ist

${\displaystyle {}{\left(M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}\right)}^{-1}=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {e}}={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,-\gamma &-\operatorname {sin} \,-\gamma \\\operatorname {sin} \,-\gamma &\operatorname {cos} \,-\gamma \end{pmatrix}}\,.}$

Nach Fakt ist somit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )&=(M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}})^{-1}\circ M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {e}}(\varphi )\circ M_{\mathfrak {e}}^{\mathfrak {u}}\\&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\gamma &-\operatorname {sin} \,\gamma \\\operatorname {sin} \,\gamma &\operatorname {cos} \,\gamma \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,-\gamma &-\operatorname {sin} \,-\gamma \\\operatorname {sin} \,-\gamma &\operatorname {cos} \,-\gamma \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,(\gamma +\alpha -\gamma )&-\operatorname {sin} \,(\gamma +\alpha -\gamma )\\\operatorname {sin} \,(\gamma +\alpha -\gamma )&\operatorname {cos} \,(\gamma +\alpha -\gamma )\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Wenn man die Orthonormalbasis ${\displaystyle {}e_{2},e_{1}}$ nimmt (also die Reihenfolge vertauscht),

${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha &\cos \alpha \\\cos \alpha &\sin \alpha \end{pmatrix}}}$