Ebene affine Kurve/xy^3+y+x^3/Glatt/Aufgabe/Lösung

Die partiellen Ableitungen sind

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x}}=y^{3}+3x^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial y}}=3xy^{2}+1\,.}$

1. Im gegebenen Punkt ${\displaystyle {}(4,2)}$ ist

   ${\displaystyle {}f(4,2)=4\cdot 2^{3}+2+4^{3}=32+2+64=98=0\,,}$

   ${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x}}(4,2)=8+3\cdot 16=56=0\,}$

   und

   ${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial y}}(4,2)=3\cdot 4\cdot 4+1=49=0\,,}$

   also liegt ein singulärer Punkt vor.

2. Es ist zu zeigen, dass diese beiden partiellen Ableitungen und ${\displaystyle {}f}$ über einem beliebigen Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 7}$ keine gemeinsame Nullstelle haben. Aus

   ${\displaystyle {}y^{3}=-3x^{2}\,}$

   und der Kurvengleichung folgt

   ${\displaystyle {}x(-3x^{2})+y+x^{3}=y-2x^{3}=0\,,}$

   also

   ${\displaystyle {}y=2x^{3}\,.}$

   Dies in die erste partielle Ableitung eingesetzt ergibt

   ${\displaystyle {}y^{3}+3x^{2}=8x^{9}+3x^{2}={\left(8x^{7}+3\right)}x^{2}=0\,}$

   Dies in die zweite partielle Ableitung eingesetzt ergibt

   ${\displaystyle {}3xy^{2}=3x{\left(2x^{3}\right)}^{2}=12x^{7}=-1\,.}$

   Daraus folgt einerseits ${\displaystyle {}x\neq 0}$ und andererseits, dass wir Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2,3}$ annehmen können. Dann ist

   ${\displaystyle {}x^{7}=-{\frac {3}{8}}\,}$

   und

   ${\displaystyle {}x^{7}=-{\frac {1}{12}}\,,}$

   also

   ${\displaystyle {}{\frac {3}{8}}={\frac {1}{12}}\,}$

   bzw.

   ${\displaystyle {}9=2\,,}$

   was bei Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 7}$ ausgeschlossen ist.