Ebene differenzierbare Kurve/Faser/Krümmung/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ eine Bogenparametrisierung der Kurve ${\displaystyle {}Y}$ in einer Umgebung von ${\displaystyle {}P}$ mit ${\displaystyle {}\gamma (0)=P}$, die mit der gegebenen Orientierung übereinstimmt. Das totale Differential

${\displaystyle \left(DN\right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

ist linear, daher genügt es, die Aussage für den Vektor ${\displaystyle {}\gamma '(0)}$ zu zeigen. Nach der Kettenregel ist

${\displaystyle {}{\left(DN\right)}_{P}{\left(\gamma '(0)\right)}=(N\circ \gamma )'(0)\,.}$

Dieser Vektor ist ein Vielfaches von ${\displaystyle {}\gamma '(0)}$ und daher ist dies gleich

${\displaystyle \left\langle (N\circ \gamma )'(0),\gamma '(0)\right\rangle \gamma '(0).}$

Wegen der Orthogonalitätsbedingung ist

${\displaystyle {}\left\langle (N\circ \gamma )(t),\gamma '(t)\right\rangle =0\,}$

für alle ${\displaystyle {}t\in I}$ und daher

${\displaystyle {}\left\langle (N\circ \gamma )'(t),\gamma '(t)\right\rangle +\left\langle (N\circ \gamma )(t),\gamma ^{\prime \prime }(t)\right\rangle =0\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}{\left(DN\right)}_{P}{\left(\gamma '(0)\right)}=-\left\langle (N\circ \gamma )(0),\gamma ^{\prime \prime }(0)\right\rangle \gamma '(0)=-\kappa (\gamma (0))\gamma '(0)\,}$

nach Fakt.