Ebene differenzierbare Kurve/Krümmung/Beschreibung/Fakt

Es sei ${}\alpha \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweimal stetig differenzierbare Kurve mit ${}\alpha '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in I$ . Es sei

{}N(t):={\frac {\begin{pmatrix}-\alpha _{2}'(t)\\\alpha _{1}'(t)\end{pmatrix}}{\Vert {\alpha '(t)}\Vert }}\,.

Dann ist die Krümmung der zugehörigen bogenparametrisierten Kurve gleich

${}\kappa (t)={\frac {\left\langle \alpha ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle }{\Vert {\alpha '(t)}\Vert ^{2}}}={\frac {\alpha _{1}'(t)\alpha _{2}^{\prime \prime }(t)-\alpha _{2}'(t)\alpha _{1}^{\prime \prime }(t)}{{\left(\alpha _{1}'(t)^{2}+\alpha _{2}'(t)^{2}\right)}^{3/2}}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen