Echte Potenzen/Kehrwerte/Summierbar/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen die etwas stärkere Aussage, dass die (größere) Familie ${\displaystyle {}{\frac {1}{n^{k}}}}$, ${\displaystyle {}(k,n)\in \mathbb {N} _{\geq 2}\times \mathbb {N} _{\geq 2}}$, summierbar ist, indem wir zeigen, dass sie nach oben beschränkt. Die Familie der Kehrwerte der echten Quadrate, also die Teilfamilie ${\displaystyle {}{\frac {1}{n^{2}}}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{\geq 2}}$, ist nach Beispiel summierbar. Wegen ${\displaystyle {}{\frac {1}{n^{3}}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}}$ ist auch die Teilfamilie ${\displaystyle {}{\frac {1}{n^{3}}}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{\geq 2}}$, summierbar. Die übrigen Summanden unterteilen wir in ${\displaystyle {}{\frac {1}{n^{k}}}}$ mit ${\displaystyle {}k}$ gerade oder ungerade und ${\displaystyle {}k\geq 4}$. Für diese ist einerseits

${\displaystyle {}\sum _{n\geq 2,\,k\geq 4{\text{ gerade }}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{n^{2\ell }}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{{(n^{2})}^{\ell }}}\,}$

und andererseits

${\displaystyle {}\sum _{n\geq 2,\,k\geq 4{\text{ ungerade }}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{n^{2\ell +1}}}\leq \sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{n^{2\ell }}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{{(n^{2})}^{\ell }}}\,,}$

wobei die rechte Seite jeweils als Teilfamilie der Familie der Kehrwerte der Quadrate summierbar ist. Die Gesamtfamilie ist als Vereinigung von vier summierbaren Familien wieder summierbar.