Eigentliche Symmetriegruppe/Würfel/Isotropiegruppe/Innere Automorphismen/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )}$ die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. Man gebe explizite (in Matrixbeschreibung) innere Automorphismen der Würfelgruppe an, die die folgenden Isotropiegruppen zu Halbachsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen?

a) Die Isotropiegruppe zur positiven ${\displaystyle {}x}$-Achse und zur positiven ${\displaystyle {}z}$-Achse.

b) Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}}$ und zur Raumdiagonalen ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}}$.

c) Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}$ und zur Kantenmittelpunktsachse ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}$.