Eimer/Regen/Höhenstand/Aufgabe/Lösung

Wir denken uns den Eimer als Ausschnitt aus einem Kegel mit runder Grundseite. Wenn der Eimer bis zur Höhe ${\displaystyle {}h}$ gefüllt ist, so ist das Wasservolumen darin nach Fakt gleich

${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}(120+h)\cdot \pi {\left(10+{\frac {h}{12}}\right)}^{2}-{\frac {1}{3}}\cdot 120\cdot \pi \cdot 10^{2}={\frac {1}{3}}\pi {\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}\,.}$

Die Wasserzufuhr in den Eimer hängt vom oberen Querschritt ab. Bei einer Regenmenge von ${\displaystyle {}5}$ cm ist dies

${\displaystyle {}5\cdot {\left({\frac {25}{2}}\right)}^{2}\cdot \pi ={\frac {3125}{4}}\pi \,.}$

Dies führt zur Bedingung

${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}{\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}={\frac {3125}{4}}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}{\left({\frac {1}{36}}(120+h)^{3}-4\cdot 12000\right)}=3\cdot 3125\,}$

bzw.

${\displaystyle {}(120+h)^{3}=3\cdot 36\cdot 3125+4\cdot 36\cdot 12000=337500+1728000=2065500\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}h={\sqrt[{3}]{2065500}}-120\cong 7,35\,.}$