Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper/Koeffizientendarstellung/Fakt/Beweis

Wir gehen von der Inklusion ${\displaystyle {}K'=K(b_{0},\ldots ,b_{k})\subseteq M}$ aus. Die Körpererweiterung ${\displaystyle {}K'\subseteq L}$ ist ebenfalls einfach mit dem Erzeuger ${\displaystyle {}x}$, und ${\displaystyle {}G\in K'[X]}$ ist irreduzibel, da es ja irreduzibel in ${\displaystyle {}M[X]}$ ist. Somit ist ${\displaystyle {}G}$ nach Fakt auch das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}x}$ über ${\displaystyle {}K'}$. Daher ist ${\displaystyle {}L=M[X]/(G)}$ und ${\displaystyle {}L=K'[X]/(G)}$ und insbesondere

${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{M}L=\operatorname {grad} \,(G)=\operatorname {grad} _{K'}L\,.}$

Nach der Gradformel, angewendet auf ${\displaystyle {}K'\subseteq M\subseteq L}$, folgt ${\displaystyle {}K'=M}$.