Eingebetteter Torus/Drehung/Isometrie/Aufgabe

Es seien ${\displaystyle {}r}$ und ${\displaystyle {}R}$ positive reelle Zahlen mit ${\displaystyle {}0<r<R}$, wir betrachten den (eingebetteten) Torus

${\displaystyle {}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,}$

mit der induzierten riemannschen Struktur. Zeige, dass zu jedem ${\displaystyle {}\alpha \in [0,2\pi [}$ die Abbildung

${\displaystyle \Psi _{\alpha }\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x\cos \alpha -y\sin \alpha ,\,x\sin \alpha +y\cos \alpha ,\,z\right),}$

eine Isometrie von ${\displaystyle {}T}$ in sich induziert.