Einheitsintervall/Bijektiv/Nicht rektifizierbar/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}x,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\1-x,{\text{ falls }}x\not \in \mathbb {Q} \,,\end{cases}}}$

die offenbar bijektiv ist. Um zu zeigen, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ nicht rektifizierbar ist, wählen wir zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ irrationale Zahlen ${\displaystyle {}x_{i}}$, ${\displaystyle {}1\leq i\leq n}$, mit

${\displaystyle 0<x_{1}<{\frac {1}{n}}<x_{2}<{\frac {2}{n}}<x_{3}<{\frac {3}{n}}<\cdots <{\frac {n-2}{n}}<x_{n-1}<{\frac {n-1}{n}}<x_{n}<1.}$

All diese Zahlen nehmen wir als Intervallunterteilung. Für ${\displaystyle {}n=3k}$ ist die Summe der Länge der Abstände der Bildpunkte mindestens

${\displaystyle {}\varphi (x_{1})-{\frac {1}{n}}+\varphi (x_{2})-{\frac {2}{n}}+\varphi (x_{3})-{\frac {3}{n}}+\cdots +\varphi (x_{k-1})-{\frac {k-1}{n}}+\varphi (x_{k})-{\frac {k}{n}}\geq k{\frac {1}{3}}\,,}$

da ja in diesem Bereich

${\displaystyle {}\varphi (x_{i})=1-x_{i}\geq {\frac {2}{3}}\,}$

${\displaystyle {}k}$