Einheitsintervall/Bijektiv/Rektifizierbar/Andere Länge/Beispiel/Aufgabe/Lösung

Es sei

${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}t,{\text{ falls }}t\neq {\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\,,\\{\frac {2}{3}},{\text{ falls }}t={\frac {1}{3}}\,,\\{\frac {1}{3}},{\text{ falls }}t={\frac {2}{3}}\,,\end{cases}}}$

es wird also ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}}$ mit ${\displaystyle {}{\frac {2}{3}}}$ vertauscht und ansonsten liegt die Identität vor. Da die Länge eines Streckenzugs allenfalls größer wird, wenn man zu einer Verfeinerung des Intervalls übergeht, können wir von vornherein nur Intervallunterteilungen betrachten, bei denen ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}}$ und ${\displaystyle {}{\frac {2}{3}}}$ vorkommen. Sei

${\displaystyle t_{0}=0<t_{1}<\ldots <t_{k-1}<t_{k}={\frac {1}{3}}<t_{k+1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}={\frac {2}{3}}<t_{n+1}<\ldots <t_{m}=1}$

eine Unterteilung des Intervalls. Dann ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{m}\vert {\varphi (t_{i})-\varphi (t_{i-1})}\vert &=\sum _{i=1}^{k-1}\vert {\varphi (t_{i})-\varphi (t_{i-1})}\vert +\vert {\varphi (t_{k})-\varphi (t_{k-1})}\vert +\vert {\varphi (t_{k+1})-\varphi (t_{k})}\vert +\sum _{i=k+2}^{n-1}\vert {\varphi (t_{i})-\varphi (t_{i-1})}\vert +\vert {\varphi (t_{n})-\varphi (t_{n-1})}\vert +\vert {\varphi (t_{n+1})-\varphi (t_{n})}\vert +\sum _{i=n+2}^{m}\vert {\varphi (t_{i})-\varphi (t_{i-1})}\vert \\&=\sum _{i=1}^{k-1}{\left(t_{i}-t_{i-1}\right)}+\vert {{\frac {2}{3}}-t_{k-1}}\vert +\vert {t_{k+1}-{\frac {2}{3}}}\vert +\sum _{i=k+2}^{n-1}{\left(t_{i}-t_{i-1}\right)}+\vert {{\frac {1}{3}}-t_{n-1}}\vert +\vert {t_{n+1}-{\frac {1}{3}}}\vert +\sum _{i=n+2}^{m}{\left(t_{i}-t_{i-1}\right)}\\&=t_{k-1}+\vert {{\frac {2}{3}}-t_{k-1}}\vert +\vert {t_{k+1}-{\frac {2}{3}}}\vert +t_{n-1}-t_{k+1}+\vert {{\frac {1}{3}}-t_{n-1}}\vert +\vert {t_{n+1}-{\frac {1}{3}}}\vert +1-t_{n+1}\\&=t_{k-1}+{\frac {2}{3}}-t_{k-1}-t_{k+1}+{\frac {2}{3}}+t_{n-1}-t_{k+1}-{\frac {1}{3}}+t_{n-1}+t_{n+1}-{\frac {1}{3}}+1-t_{n+1}\\&={\frac {5}{3}}-2t_{k+1}+2t_{n-1}\,\end{aligned}}}$

Wegen

${\displaystyle {}t_{n-1}<{\frac {2}{3}}\,}$

ist dies durch ${\displaystyle {}{\frac {9}{3}}=3}$ nach oben beschränkt und damit ist die Kurve rektifizerbar. Wegen

${\displaystyle {}t_{n-1}>t_{k+1}\,}$

${\displaystyle {}\geq {\frac {5}{3}}>1}$

${\displaystyle {}1}$