Einheitskreis/K/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Beispiel/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}1+X+(1-X)=2\,,}$

sodass die beiden Ringelemente das Einheitsideal erzeugen.

${\displaystyle {}Y^{2}=1-X^{2}=(1-X)(1+X)\,.}$

Wir führen die Nenneraufnahme für ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}B}$ an ${\displaystyle {}1-X}$ durch. Es ist dann

${\displaystyle {}Z={\frac {Y}{1-X}}W\,}$

und wir können ${\displaystyle {}Z}$ in der Darstellung von ${\displaystyle {}B}$ eliminieren. Die weitere Gleichung

${\displaystyle {}YZ=(1+X)W\,}$

wird dann zu

${\displaystyle {}Y{\left({\frac {Y}{1-X}}W\right)}=(1+X)W\,.}$

Dies ergibt sich aber bereits aus der Kreisgleichung, ist also überflüssig, und somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}B_{1-X}&\cong {\left(K[X,Y,Z,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1,(1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}\right)}_{1-X}\\&\cong {\left(K[X,Y,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\right)}_{1-X}\\&\cong {\left(K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\right)}_{1-X}[W]\\&=S_{1-X}[W].\end{aligned}}}$

Wir führen nun die Nenneraufnahme für ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}B}$ an ${\displaystyle {}1+X}$ durch. Es ist dann

${\displaystyle {}W={\frac {Y}{1+X}}Z\,}$

und wir können ${\displaystyle {}W}$ in der Darstellung von ${\displaystyle {}B}$ eliminieren. Die weitere Gleichung

${\displaystyle {}(1-X)Z=YW\,}$

wird dann zu

${\displaystyle {}(1-X)Z=Y{\left({\frac {Y}{1+X}}Z\right)}\,.}$

Dies ergibt sich aber bereits aus der Kreisgleichung, ist also überflüssig, und somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}B_{1+X}&\cong {\left(K[X,Y,Z,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1,(1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}\right)}_{1+X}\\&\cong {\left(K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\right)}_{1+X}\\&\cong {\left(K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\right)}_{1+X}[Z]\\&=S_{1+X}[Z].\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}L{|}_{D(1-X)}}$

${\displaystyle {}L{|}_{D(1-X)}}$

${\displaystyle {}D(1-X)\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}}$

${\displaystyle {}L{|}_{D(1+X}}$

${\displaystyle {}D(1+X)\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}}$

${\displaystyle {}D(1-X)\cap D(1+X)=D(1-X^{2})=D(Y)}$

${\displaystyle {}Z={\frac {Y}{1-X}}W\,}$

gegeben, ist also linear.