Einheitskreis/Konstruierbar/Keine Einheitswurzel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Zahl ${\displaystyle {}2+{\mathrm {i} }}$, die zu ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$ gehört und insbesondere konstruierbar ist. Dann ist auch der Schnittpunkt der Geraden durch diesen Punkt und den Nullpunkt mit dem Einheitskreis konstruierbar. Wenn dieser Schnittpunkt eine Einheitswurzel wäre, so wäre eine bestimmte Potenz davon gleich ${\displaystyle {}1}$. Dies würde bedeuten, dass eine bestimmte Potenz von ${\displaystyle {}2+{\mathrm {i} }}$ reell wäre. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(2+{\mathrm {i} }\right)}^{n}&=\sum _{k=0}^{n}2^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}\\&=\sum _{k\leq n,\,k{\text{ gerade}}}^{n}2^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}+\sum _{k\leq n,\,k{\text{ ungerade}}}^{n}2^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}\\&={\left(\sum _{\ell \leq n/2}(-1)^{\ell }2^{n-2\ell }\right)}+{\left(\sum _{\ell <n/2}(-1)^{\ell }2^{n-2\ell -1}\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}}$

Der Koeffizient vor ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ ist bei ${\displaystyle {}n}$ gerade gleich

${\displaystyle \pm {\left(2-2^{3}+2^{5}-2^{7}\pm \ldots \pm 2^{n-1}\right)}}$

und bei ${\displaystyle {}n}$ ungerade gleich

${\displaystyle \pm {\left(1-2^{2}+2^{4}-2^{6}\pm \ldots \pm 2^{n-1}\right)}.}$

${\displaystyle {}0}$

${\displaystyle {}2^{n-1}}$