Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Funktionaler Ausdruck/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

die einem Punkt ${\displaystyle {}t\in \mathbb {R} }$ den eindeutigen Schnittpunkt ${\displaystyle {}\neq (0,-1)}$ der durch die beiden Punkte ${\displaystyle {}(t,1)}$ und ${\displaystyle {}(0,-1)}$ gegebenen Geraden ${\displaystyle {}G_{t}}$ mit dem Einheitskreis

${\displaystyle {}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,}$

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ differenzierbar ist. Ist ${\displaystyle {}f}$ injektiv, ist ${\displaystyle {}f}$ surjektiv?