Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/Fakt/Beweis

Die Parametrisierung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \varphi (t)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),}$

ist stetig, da sie komponentenweise durch rationale Funktionen gegeben ist. Es sei ${\displaystyle {}s\in S^{1}}$ ein Punkt des Einheitskreises. Der Punkt ${\displaystyle {}(-1,0)}$ (der Punkt, der von der Parametrisierung nicht erfasst wird), ist selbst rational. Es sei also ${\displaystyle {}s\neq (-1,0)}$ und sei ${\displaystyle {}t\in \mathbb {R} }$ eine reelle Zahl mit ${\displaystyle {}\varphi (t)=s}$. Es sei ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit gibt es dann auch ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ derart, dass die Ballumgebung ${\displaystyle {}B(t,\delta )}$ nach ${\displaystyle {}B(s,\epsilon )}$ hinein abgebildet wird, also ${\displaystyle {}\varphi (B(t,\delta ))\subseteq B(s,\epsilon )}$. Da die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen dicht liegen, gibt es eine rationale Zahl ${\displaystyle {}q\in B(t,\delta )}$. Dann ist ${\displaystyle {}\varphi (q)}$ ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten, der in der ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung von ${\displaystyle {}s}$ liegt.