Einheitskugel/Hyperfläche/Tangentialraum/Beispiel

Es sei

${\displaystyle {}h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,}$

und wir betrachten die Faser ${\displaystyle {}Y}$ zu ${\displaystyle {}h}$ über ${\displaystyle {}1}$, also die Kugeloberfläche zum Radius ${\displaystyle {}1}$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Das totale Differential ist ${\displaystyle {}\left(2x,\,2y,\,2z\right)}$, in einem jeden Punkt der Kugeloberfläche ist also zumindest ein Eintrag ungleich ${\displaystyle {}0}$ und daher ist ${\displaystyle {}h}$ in jedem Punkt von ${\displaystyle {}Y}$ regulär. Es sei ${\displaystyle {}P=\left(a,\,b,\,c\right)\in Y}$. Der Tangentialraum in ${\displaystyle {}P}$ ist durch die lineare Bedingung

${\displaystyle {}ax+by+cz=0\,}$

gegeben, das ist die Menge aller Vektoren, die orthogonal zum Gradienten ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2a\\2b\\2c\end{pmatrix}}}$ stehen.