Einsetzungshomomorphismus/X nach id/C^1(K,K)/Einheiten/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} {\text{ oder }}{\mathbb {C} }}$ und es sei ${\displaystyle {}D_{\mathbb {K} }=\operatorname {C} ^{1}({\mathbb {K} },{\mathbb {K} })}$ der Ring der stetig-differenzierbaren Funktionen von ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ nach ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$. Zeige, dass der Einsetzungshomomorphismus

${\displaystyle \Psi \colon {\mathbb {K} }[X]\longrightarrow D_{\mathbb {K} },\,X\longmapsto \operatorname {Id} _{\mathbb {K} },}$

injektiv ist. Bestimme die Polynome ${\displaystyle {}F\in {\mathbb {K} }[X]}$, für die ${\displaystyle {}\Psi (F)}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}D_{\mathbb {K} }}$ ist.