Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

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Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt Unterring, wenn sowohl ${}(S,+,0)$ eine Untergruppe von ${}(R,+,0)$ als auch ${}(S,\cdot ,1)$ ein Untermonoid von ${}(R,\cdot ,1)$ ist.
Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ ist durch
${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

definiert.
Ein Element ${}b\in R$ heißt gemeinsames Viellfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ , wenn ${}f$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist.
Ein Primideal ist ein Ideal, wenn ${}{\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für ${}r,s\in R$ mit ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: ${}r\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}s\in {\mathfrak {p}}$ .
Die Charakteristik ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft ${}n\cdot 1_{R}=0$ . Die Charakteristik ist ${}0$ , falls keine solche Zahl existiert.
Ein Punkt ${}P\in E$ ${}P\in E$ heißt aus ${}M$ ${}M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
1. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Geraden ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ mit ${}G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$ .
2. Es gibt eine aus ${}M$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$ und einen aus ${}M$ elementar konstruierbaren Kreis ${}C$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt von ${}G$ und ${}C$ ist.
3. Es gibt zwei aus ${}M$ elementar konstruierbare Kreise ${}C_{1}$ und ${}C_{2}$ derart, dass ${}P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.

Zur gelösten Aufgabe