Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}R}$

${\displaystyle {}+}$

${\displaystyle {}\cdot }$

${\displaystyle {}0}$

${\displaystyle {}1}$

1. ${\displaystyle {}(R,+,0)}$ ist eine abelsche Gruppe.
2. ${\displaystyle {}(R,\cdot ,1)}$ ist ein Monoid.
3. Es gelten die Distributivgesetze, also ${\displaystyle {}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$ und ${\displaystyle {}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)}$ für alle ${\displaystyle {}a,b,c\in R}$.

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} },}$

heißt komplexe Konjugation.

${\displaystyle {}R}$

${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}}$

${\displaystyle {}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N} }$

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${\displaystyle {}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,}$

definiert ist.

${\displaystyle {}M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,}$

den algebraischen Abschluss von ${\displaystyle {}K}$ in ${\displaystyle {}L}$.