Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

Im Ring der Gaußschen Zahlen ist die Normfunktion eine euklidische Funktion.
Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei
$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

$R{\stackrel {q}{\longrightarrow }}R/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}S,$
wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Ringisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.
Es sei ${}K\subseteq L$ ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.
1. Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}K$ ist irreduzibel.
2. Wenn ${}Q\in K[X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ${}Q(f)=0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.