Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M}$

ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${\displaystyle {}x,y\in L}$ auch ${\displaystyle {}f(x)}$ und ${\displaystyle {}f(y)}$ verschieden sind.

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle {}a}$

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle {}a}$

${\displaystyle a\cdot a\cdots a\cdot a}$

(${\displaystyle {}n}$ Faktoren).

${\displaystyle {}G}$

${\displaystyle {}e\in G}$

${\displaystyle G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,}$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${\displaystyle {}f,g,h\in G}$ gilt

   ${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).}$

2. Das Element ${\displaystyle {}e}$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${\displaystyle {}g\in G}$ gilt

   ${\displaystyle g\circ e=g=e\circ g.}$

3. Zu jedem ${\displaystyle {}g\in G}$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${\displaystyle {}h\in G}$ mit

   ${\displaystyle h\circ g=g\circ h=e.}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$

wobei ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle {}b\neq 0}$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}}$ und ${\displaystyle {}{\frac {c}{d}}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn ${\displaystyle {}ad=bc}$ (in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$) gilt.