Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

Durch die Festlegung
${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$
wird eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert.
Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$ . Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann gibt es keine rationale Zahl ${}q$ mit der Eigenschaft
${}n=q^{k}\,,$
d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt ${}n$ keine ${}k$ -te Wurzel.
Es sei ${}b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
$f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$
ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.