Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper, wenn ${}n$ eine Primzahl ist.
Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper ${}\mathbb {R} _{1}$ und ${}\mathbb {R} _{2}$ vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
$\varphi \colon \mathbb {R} _{1}\longrightarrow \mathbb {R} _{2}.$
Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.