Elimination/Zwei quadratische Gleichungen/Direkt/Fakt

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und seien ${\displaystyle {}F_{1}=a_{1}X^{2}+b_{1}X+c_{1}}$ und ${\displaystyle {}F_{2}=a_{2}X^{2}+b_{2}X+c_{2}}$ zwei quadratische Polynome in einer Variablen über ${\displaystyle {}R}$ mit ${\displaystyle {}a_{1}\neq 0}$ und ${\displaystyle {}(a_{1},b_{1})}$ und ${\displaystyle {}(a_{2},b_{2})}$ linear unabhängig. Dann gehört zum Ideal ${\displaystyle {}(F_{1},F_{2})\cap R}$ das Element

${\displaystyle (a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})^{2}-b_{1}(-a_{2}c_{1}b_{2}-c_{2}a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}c_{2})+c_{1}(a_{1}b_{2}^{2}-2a_{2}b_{1}b_{2}).}$