Ellipse/Gaußabbildung/Bijektiv/Aufgabe/Lösung

Als Einheitsnormalenfeld können wir vom Gradienten der beschreibenden Funktion, also von

${\displaystyle {}G(x,y)={\begin{pmatrix}2\alpha x\\2\beta y\end{pmatrix}}\,}$

ausgehen, durch Normalisierung erhalten wir

${\displaystyle {}N(x,y)={\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}x^{2}+\beta ^{2}y^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}\,.}$

Die Gauß-Abbildung ist also

${\displaystyle \varphi \colon Y={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}=1\right\}}\longrightarrow S^{1},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}x^{2}+\beta ^{2}y^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}.}$

Fakt. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die Bedingung

${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}x^{2}+\beta ^{2}y^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}z^{2}+\beta ^{2}w^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha z\\\beta w\end{pmatrix}}\,.}$

Das bedeutet, dass ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\alpha z\\\beta w\end{pmatrix}}}$ linear abhängig sind mit einem positiven Faktor ${\displaystyle {}c}$ und dass ihre Normierungen gleich sind. Dann ist aber

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha z\\\beta w\end{pmatrix}}\,}$

und daher ${\displaystyle {}x=z}$ und

${\displaystyle {}y=w}$