Elliptische Kurve/Kongruente Zahl/Rangcharakterisierung/Fakt

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und sei ${\displaystyle {}E}$ die durch ${\displaystyle {}y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$ gegebene elliptische Kurve über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

Dann ist ${\displaystyle {}n}$ genau dann eine kongruente Zahl, wenn der Rang von ${\displaystyle {}E(\mathbb {Q} )}$ zumindest ${\displaystyle {}1}$ ist.