Elliptische Kurve/Modulo 2/Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass der Kern ${\displaystyle {}H}$ der natürlichen Abbildung

${\displaystyle E(K)/2E(K)\longrightarrow E(L)/2E(L)}$

endlich ist, woraus die Behauptung folgt. Es sei ${\displaystyle {}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}}$ die Untergruppe der Torsionselemente zur Ordnung ${\displaystyle {}2}$, die nach Fakt endlich ist und es sei ${\displaystyle {}G}$ die Galoisgruppe von ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}P\in H}$, repräsentiert durch ${\displaystyle {}P\in E(K)}$. Nach Voraussetzung ist ${\displaystyle {}P}$ in ${\displaystyle {}E(L)}$ das Doppelte eines Punktes ${\displaystyle {}Q\in E(L)}$. Wir wählen zu jedem ${\displaystyle {}P}$ einen solchen Punkt ${\displaystyle {}Q}$ und definieren damit die Abbildung

${\displaystyle \theta _{P}\colon G\longrightarrow \operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi ^{*}(Q)-Q,}$

wobei wir die zu ${\displaystyle {}\varphi }$ gehörigen Automorphismen ${\displaystyle {}\varphi ^{*}}$ auf der Kurve betrachten, siehe Aufgabe. Wir behaupten, dass die Zuordnung

${\displaystyle H\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}\right)},\,P\longmapsto \theta _{p},}$

injektiv ist. Es seien also ${\displaystyle {}P,P'\in H}$, repräsentiert von ${\displaystyle {}P,P'\in E(K)}$ und mit Halbierungspunkten ${\displaystyle {}Q,Q'\in E(L)}$. Die Gleichheit ${\displaystyle {}\theta _{P}=\theta _{P'}}$ bedeutet

${\displaystyle {}\varphi ^{*}(Q)-Q=\varphi ^{*}(Q')-Q'\,}$

für alle ${\displaystyle {}\varphi \in G}$. Dies bedeutet nach Aufgabe

${\displaystyle {}\varphi ^{*}(Q'-Q)=Q'-Q\,}$

für alle ${\displaystyle {}\varphi \in G}$. D.h., dass ${\displaystyle {}Q'-Q}$ invariant unter der Galoisgruppe ist und daher gemäß Aufgabe zu ${\displaystyle {}E(K)}$ gehört. Also ist

${\displaystyle {}P'-P=2Q'-2Q=2(Q'-Q)\,}$

und somit ist ${\displaystyle {}[P']=[P]}$ in ${\displaystyle {}E(K)/2E(K)}$. Wegen der Endlichkeit der Abbildungsmenge zwischen den endlichen Mengen ${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {Tor} _{2}{\left(E(L)\right)}}$ ist auch ${\displaystyle {}E(K)/2E(K)}$ endlich.