Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-2X/Reduktionsverhalten/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}Y^{2}=X^{3}-2X=X(X^{2}-2)\,.}$

Bei ${\displaystyle {}p=2}$ erhält man direkt ${\displaystyle {}Y^{2}=X^{3}}$ und man hat additive Reduktion. Sei ${\displaystyle {}p\geq 3}$. Die partiellen Ableitungen sind ${\displaystyle {}2Y}$ und ${\displaystyle {}3X^{2}+2}$. Eine Singularität kann nur bei ${\displaystyle {}Y=0}$ vorliegen. Dazu gehört der Punkt ${\displaystyle {}(0,0)}$, der wegen der zweiten Ableitung glatt ist, und Punkte ${\displaystyle {}(x,0)}$ mit ${\displaystyle {}x^{2}=2}$. Damit dies ein singulärer Punkt ist, muss

${\displaystyle {}3x^{2}+2=8=0\,}$

sein, was bei ${\displaystyle {}p\geq 3}$ nicht möglich ist. Für ${\displaystyle {}p\geq 3}$